初中数学竞赛试题
以下是一道初中数学竞赛试题：
已知正整数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=2019$，且 $\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}=7$，求 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}$ 的值。
解答：
根据题目中给出的两个条件，我们可以尝试将 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}$ 表示为已知量的函数。
首先，将 $\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{b}{c}+\\dfrac{c}{a}=7$ 两边乘以 $abc$，得到 $a^2c+b^2a+c^2b=7abc$。
接下来，我们将 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}$ 乘以 $abc$，得到：
$$abc\\left(\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}\\right)=ab^2c+bc^2a+ca^2b$$
注意到 $ab^2c+b^2a^2+b^2c^2+bca^2+c^2ab+c^2b^2$ 可以写成 $(a^2c+b^2a+c^2b) + (abc-b^2a)$，因此：
$$ab^2c+bc^2a+ca^2b=(a^2c+b^2a+c^2b)+(abc-b^2a)=7abc-b^2a$$
将上式代入 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}$ 的表达式中，得到：
$$\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}=\\dfrac{ab^2c+bc^2a+ca^2b}{abc}+2=\\dfrac{7abc-b^2a}{abc}+2=9-\\dfrac{b^2a}{abc}$$
注意到 $a+b+c=2019$，因此 $abc\\leq \\left(\\dfrac{a+b+c}{3}\\right)^3=2019^3/27$，而 $b^2a$ 的最大值为 $b^2a\\leq \\left(\\dfrac{b+b+a}{3}\\right)^3=2019^3/27$。因此 $\\dfrac{b^2a}{abc}\\leq 1$，且等号成立当且仅当 $a=b=c$。
因此 $\\dfrac{b}{a}+\\dfrac{c}{b}+\\dfrac{a}{c}$ 的最小值为 $9-1=8$，最大值为 $9$。